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一道“简单的”智力题的解法

(2015-07-25 10:17:41)

 

22日中午,在朋友圈看到这样一道题:

一首真正的智力题吧,据说是世界上目前最好的智力题目:有十二个乒乓球特征相同,其中只有一个重量异常,现在要求用一部没有砝码的天平称三次,将那个重量异常的球找出来。


 

乍一看,这题与上小学时经常做的数学题大同小异,无非是通过合理的组合,通过逻辑判断排除,将有问题的球找出。所以,很多人(包括我自己)看了以后,立马就说如何如何解,三下五除二就能找出那个问题球。

然而,仔细研究了一下,发现题目并非这么简单。这题的题眼就在于“异常”二字,与以往的题目不同,没有说是轻或重。“异常”扩大了各种可能性的范围,将题目的难度呈数量级提高。如果谁认为题目简单,一般都是没有注意到这个题眼的含义。

下午送十岁的儿子去打篮球的时候,我把这题目给他看了,他的第一反应也是容易,不到一分钟就改变了主意,发现了其中的问题。儿子打完篮球回到家,就用象棋棋子做道具,和我一起研究这题的解法。父子俩摆十多分钟,我想出了一种解决方案,现在发上来,请大家指正:

把球按四个一组分成三组,第一组代号1234,第二组ABCD,第三组abcd。先用一、二组进行第一次称重,有如下可能:

1. 1234=ABCD。说明异常球在第三组,即abcd中,一、二组为正常球。这时,选a+b PK 1+2,进行第二次称重,结果可能如下:

1.1 ab=12。说明ab为正常球,异常球是cd。再用1 PK c第三次称重,等重,则d为异常球;不等,则c是异常球。

1.2 重量不等。说明异常球非ab,用1.1中同样的办法很容易确定。

2 1234>ABCD。难度出来了,不确定的球比第一种情况多出一倍,异常球是一、二组内的八个球之一,且不知其是轻或重。

现在面临的任务是,用两次称重的机会找出八个球中的异常球,这就是这道题目的最关键的一步。从理论上来讲,八是二的三次方,直接称要称三次以上才能找出异常球,所以必须要有突破性思维才有可能解决问题,如何分组是解题关键。

和儿子一起用棋子作道具进行推演,摆了十多分钟,终于使用了提取法和交换法的“组合拳”把问题解决了。

把原来的一、二组的1234ABCD八个球分成abc三组来称,每组三个球,就必须借用三组的一个正常球(这可是一个隐含着的已知条件),分组的技巧决定了解题的成功与否。

具体做法:1.每组先抽出一个球,如1A2.将一、二组中的一个球进行交换,2B3.从三组中选一个正常球a作陪衬,与1A组成一组。分组的情况如下

a组:34Bb组:2CDc组:1Aa

刚开始我没有选入正常球a,并习惯性地把a组和b组进行称重,比过一次后仍可能有四个球不确定,不可能一次解出四个未知球,怎么也解不了题,让我甚至感到这是道无解题。儿子的一个无意识的举动启发了我,在c组增加正常球a,用c组来称重,合理地利用了一些隐藏着的已知条件,这时,奇迹发生了!

aPK c组,进行第二次称重,可能会产生以下结果:

2.1 a=c组。异常球在b组,即2CD。用CD进行PK,开始第三次称重。可能有以下情况:

2.1.1 C=D。毫无疑问,异常球为2

2.1.2 C>D。这时,第一次称重的结果作为一个隐藏的解题条件必须发挥作用,一组重于二组,异常球在二组的话,应该是轻于正常球,异常球为D

2.1.3 C<D。同理,异常球为C

2.2 a>c组。由于1B已经换位到另一方(1从重的一方到轻的一方,B从轻的一方到重的一方),但没有影响称重结果,说明两球都是正常球,可排除嫌疑。剩下的34A3PK4,谁重谁是异常球,等重则A是异常球,道理在上面已经描述过了。

2.3 a<c组。由于34换位到轻的一方,A换到重的一方,说明它们都是正常球。剩下的B1,任取其一与正常球a进行第三次称重即可找出异常球。

31234<ABCD。这情况与1234>ABCD的解法一致,只不过是轻重不同而已,这里就不再重复描述了。

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